Aralarında Asal Sayılar Nedir Aralarında Asal Ne Demek?

Aralarında asal sayılar nelerdir? Asal sayı nedir? Sorusu özellikle 8. Sınıf matematik dersinde öğrencilerin karşısına çıkıyor. İki sayının aralarında asal olma şartı ile ilgili örneklerle detaylı bilgi verdiğimiz bu yazı sayesinde konuyu en ince ayrıntılarına kadar öğrenebileceksiniz. Asal sayılar ile ilgili özel online eğitim için İlerlet Online Eğitim Platformu üzerindeki eğitimleri inceleyebilirsiniz.

Asal Sayı Nedir?

Asal sayı nedir? Yalnızca 1 ve kendisiyle tam bölünebilen, yani sadece 1 ve kendisiyle kalansız bölünebilen pozitif tam sayılardır. Asal sayılar sadece 1 ve kendisi olmak üzere yalnızca iki pozitif böleni olan sayılardır. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13 gibi sayılar asal sayılardır.

Aralarında asal sayılar ise hiçbir ortak bölenleri olmayan iki veya daha fazla sayıdır. Yani, iki sayının en büyük ortak böleni 1 ise bu sayılar aralarında asaldır. Örneğin, 6 ve 35 sayıları aralarında asal sayılardır çünkü en büyük ortak bölenleri 1'dir.

Aralarında asal sayılar, matematiksel analizlerde ve problemlerin çözümünde önemli bir rol oynar. Özellikle sayı teorisi ve kriptografi gibi alanlarda asal sayılar ve aralarında asal sayılar üzerine çalışmalar yapılır.

Aralarında Asal Sayılar

Asal sayılar, yalnızca kendisi ve 1'e tam olarak bölünebilen, yani pozitif tam sayılardır. Örnek olarak, 2, 3, 5, 7, 11 gibi sayılar asal sayılardır çünkü sadece 1 ve kendilerine bölünebilirler. Diğer taraftan, 4, 6, 8, 9 gibi sayılar asal sayılar değildir çünkü kendilerinden başka tam sayılara da tam olarak bölünebilirler.

Aralarında asal olan sayılar ise birbirleriyle en büyük ortak bölenleri 1 olan sayılardır. Yani, aralarında asal olan iki sayının ortak böleni yalnızca 1'dir. Örneğin, 2 ve 3 aralarında asal sayılardır çünkü ortak bölenleri sadece 1'dir.

Peki, 12 ile aralarında asal olan sayılar nelerdir? 12'nin pozitif tam bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Dolayısıyla, aralarında asal olan sayılar 12'nin pozitif tam bölenleriyle belirlenebilir. 12 ile aralarında asal olan sayılar şunlardır: 1, 5, 7, 11.

12'nin pozitif tam bölenleriyle olan ilişkisinden yola çıkarak, aralarında asal olan sayıları bulabilmek için her bir sayının 12'ye bölünüp bölünmediğini kontrol etmek gerekir. Eğer herhangi bir sayı 12'ye bölünmüyorsa, o sayı 12 ile aralarında asal olarak kabul edilir.

Aralarında asal olan sayıları bulmak için bir diğer yöntem ise verilen sayının pozitif tam bölenlerini bulup, her birinin asallığını kontrol etmektir. Bu yöntemle de verilen bir sayının aralarında asal olan sayıları kolaylıkla bulunabilir.

Asal sayılar ve aralarında asal olan sayılar matematikte oldukça önemli bir konudur. Özellikle kriptografi, bilgisayar bilimi ve matematiksel problemlerin çözümünde sıkça kullanılırlar. Asal sayıların dağılımı ve özellikleri üzerine yapılan çalışmalar matematik dünyasında hala devam etmektedir.

Asal sayılar yalnızca kendisi ve 1'e tam olarak bölünebilen pozitif tam sayılardır. Aralarında asal olan sayılar ise birbirleriyle en büyük ortak bölenleri sadece 1 olan sayılardır. 12 ile aralarında asal olan sayılar da bu kriterlere göre belirlenebilir. Asal sayılar ve aralarında asal olan sayılar matematiksel açıdan oldukça ilgi çekici ve önemli konulardır.

Asal Sayılar YKS AYT ve TYT Sınavında Çıkar MI?

Evet, asal sayılar YKS (Yükseköğretim Kurumları Sınavı)'nın hem AYT (Alan Yeterlilik Testi) hem de TYT (Temel Yeterlilik Testi) oturumlarında çıkabilir. YKS sınavı, Türkiye'de üniversiteye giriş için yapılan bir sınavdır.

TYT oturumu, genel yetenek, genel kültür, Türkçe, matematik ve fen bilimleri gibi temel konuları içerir. Matematik bölümünde yer alan sorular arasında asal sayılarla ilgili konulara da yer verilebilir. Örneğin, asal sayıların tanımı, özellikleri, asal çarpanlara ayırma gibi konulara ilişkin sorular çıkabilir.

AYT oturumu ise öğrencilerin seçtiği alanlara (fen bilimleri, sosyal bilimler, eşit ağırlık, dil) göre farklı sorular içerir. Matematik ve fen bilimleri alanında yer alan sorularda asal sayılarla ilgili konulara rastlanabilir.

Aralarında Asal Ne Demek?

Aralarında asal ne demek? "Aralarında asal" terimi, iki veya daha fazla sayının birbirleriyle ortak bölenleri olmadığını ifade eder. İki sayı arasında asal olması, bu sayıların sadece 1 ve kendisi olmak üzere hiçbir başka ortak bölenleri olmadığı anlamına gelir. 1 sayısı hariç herhangi bir ortak çarpanı (böleni) olmayan sayılara, ‘aralarında asal sayılar’ denir. İki sayının aralarında asal sayılması için bunların asal olmasına gerek yoktur.

Buna şöyle bir örnek verebiliriz:

28 ve 15 sayıları aralarında asal sayılardır. Fakat bunların ikisi de asal değildir.
15’in bölenleri şöyledir: 15, 5, 3 ve 1.
28’in bölenleri ise şunlardır: 28, 14, 7, 4, 2, 1.
Görüldüğü gibi 28’in ve 15’in tek bir ortak böleni vardır. O da 1 sayısıdır. Bu yüzden 15 ile 28 aralarında asal sayı olmaktadır.

Tabii ki sadece iki değil, daha çok sayı için de yine aralarında asal olma durumu bulunabilir.

Örneğin; 45, 18 ve 10 sayıları için de yukarıdaki gibi benzer işlemleri yapabiliriz. Bu 3 sayının aralarında asal olma durumuna bakalım:

Sayıların hiçbiri asal değildir.
10’un bölenleri şu şekildedir: 10, 5, 2, 1.
18’in bölenlerini şöyle sıralayabiliriz: 9, 6, 3, 2, 18, 1.
45’in bölenleri de şunlardan oluşur: 1, 5, 3, 15, 9, 45.
Görüldüğü üzere 3 sayının da yalnızca 1 sayısı ortak bölenidir. Bunun dışında ortak bölene sahip değildirler.
Bunlar 2’şerli olarak aralarında asal olmadıkları halde 3’ü beraber aralarında asal sayılardır.

Aralarında asal sayılar, belirli bir sayıyla hiçbir ortak böleni olmayan sayılardır. İşte verdiğiniz örnekler üzerinden aralarında asal olan sayılar:

20 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17 ve 19 gibi sayılar 20 ile aralarında asal sayılardır. Çünkü bu sayılar 20'nin hiçbir pozitif böleni değillerdir.
Aralarında asal olan sayılar: Herhangi iki sayı için, eğer en büyük ortak bölenleri 1 ise, bu sayılar aralarında asal sayılardır. Örneğin, 8 ve 9 sayıları aralarında asal sayılardır.
Aralarında asal sayılar örnek: Örneğin, 4 ve 7 sayıları aralarında asal sayılardır, çünkü ortak bölenleri yoktur.
1 ile aralarında asal olan sayılar: 1, herhangi bir sayıyla aralarında asal olacaktır. Çünkü her sayının 1 ile tam bölünebilir olması nedeniyle 1'in hiçbir ortak böleni yoktur.
12 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 5, 7, 11 gibi sayılar 12 ile aralarında asal sayılardır.
15 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 gibi sayılar 15 ile aralarında asal sayılardır.

Yukarıda verilen örneklerde, belirli bir sayıyla aralarında asal olan sayılar listelenmiştir. Bu sayılar, ilgili sayı ile hiçbir ortak böleni olmayan sayılardır.

20 ile aralarında asal olan sayılar örneği şu şekildedir:

1, 3, 7, 9, 11, 13, 17 ve 19 sayıları 20 ile aralarında asal sayılardır.

Aralarında asal olan sayılar genel olarak belirttiğiniz sayılarla ilgili olarak şu şekildedir:

0 ile aralarında asal olan sayılar: 0, asal bir sayı değildir. Dolayısıyla, 0'nın herhangi bir sayıyla ortak böleni vardır.

1 ile aralarında asal olan sayılar: Tüm sayılar 1 ile aralarında asal sayılır. Çünkü 1'in herhangi bir sayıyla ortak böleni yoktur.

2 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 gibi tüm tek sayılar 2 ile aralarında asal sayılardır.

3 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23 gibi sayılar 3 ile aralarında asal sayılardır.

6 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 gibi sayılar 6 ile aralarında asal sayılardır.

12 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 5, 7, 11, 13, 17 ve 19 sayıları 12 ile aralarında asal sayılardır.

15 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19 ve 22 gibi sayılar 15 ile aralarında asal sayılardır.

18 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 5, 7, 11, 13, 17 ve 19 sayıları 18 ile aralarında asal sayılardır.

24 ile aralarında asal olan sayılar: 1, 5, 7, 11, 13, 17 ve 19 sayıları 24 ile aralarında asal sayılardır.

Yukarıdaki örneklerde, belirttiğiniz sayılarla aralarında asal olan sayılar listelenmiştir. Bu sayılar, ilgili sayı ile hiçbir ortak böleni olmayan sayılardır.

Aralarında Asal Sayıların Özellikleri Nelerdir?

Aralarında asal sayılar sadece 1 sayısı ile birlikte bölünebilirler. Başka bir ifade ile asal çarpanlarından sadece bir tanesi aynıdır, o da 1’dir.

Örnek vermemiz gerekirse; 14 ve 9, aralarında asal sayılardandır. Her iki sayıda da ortak bölen olarak 1 sayısını görebiliriz.

Aralarında Asal Olma Şartı Nedir?

1 dışında ortak bölen sayısının olmaması aralarında asal şartıdır. Örneğin; 45, 36 ve 20 sayılarını ele alalım. Bu üç sayı, 1 hariç aynı anda farklı bir sayıya bölünemez. Onun için aralarında asal olarak nitelendirilir. Şöyle ki;

45 sayısının bölenleri : 1, 3, 5, 9, 15 ve 45'tir.
36 sayısının bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ve 36'dır.
20 sayısının bölenleri : 1, 2, 4, 5, 10 ve 20'dir.

Görüldüğü gibi burada mühim olan sayıların ortak çarpanlarını yani bölenlerini bulmaktır. Sayıları eğer ikişerli bir şekilde düşünecek olursak hiçbirinin aralarında asal sayılar olamayacağını söyleyebiliriz. Ancak 3 tanesi beraberken üçünün arasında 1 hariç tek bir ortak bölen olmadığı için aralarında asal olma şartını sağlamaktadırlar.

1 Neden Asal Sayı Değildir?

1 neden asal sayı değildir? 1, asal sayı olarak kabul edilmez. Asal sayılar, yalnızca 1 ve kendisi olmak üzere yalnızca iki pozitif bölene sahip sayılardır. Ancak 1, sadece kendisine (1) bölünebilen tek pozitif tam sayıdır. Diğer bir deyişle, 1'in yalnızca bir bölene sahip olduğu için asal sayı olarak kabul edilmez.

Asal sayıların tanımı gereği, yalnızca iki pozitif bölene sahip olmaları gerekmektedir. 1'in yalnızca bir bölene sahip olması nedeniyle asal sayı olarak sınıflandırılmaz. 1, asal sayılarla ilgili bazı matematiksel teoremlerin veya özelliklerin istisnasıdır.

0 ve 1 neden asal sayı değildir? 0, herhangi bir sayıya bölünerek sonuç verir. Herhangi bir pozitif tam sayıyı 0'a böldüğünüzde sonuç 0 olur. Bu nedenle, 0 bölen olarak kabul edilir, ancak bir bölen olarak kabul edilmez. Asal sayılar tanım gereği yalnızca iki pozitif bölene sahip olmalıdır, bu nedenle 0 asal sayı değildir.

En Küçük Asal Sayı Nedir?

En küçük asal sayı 2'dir. Asal sayılar, yalnızca 1 ve kendisi olmak üzere yalnızca iki pozitif bölene sahip sayılardır. 2, yalnızca 1 ve 2'ye bölünebilir ve başka hiçbir pozitif tam sayıya bölünemez. Dolayısıyla, 2 en küçük asal sayıdır. Asal sayıların ardışık olarak devam eden diğer örnekleri ise 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, gibi devam eder.

Aralarında Asal Hesaplaması Nasıl Yapılır?

Bunun için şu yolu izlemek yeterlidir:

Önce her bir sayının bölenlerini ayrı ayrı listelenir.
Sonra bütün sayıların 1 haricindeki diğer bölenlerini işaretleyin.
İşaretlediğiniz bir tane bile sayı mevcutsa bu sayılar aralarında asal değil demektir.
Eğer işaretlemiş olduğunuz hiç bir sayı yok ise bunlar aralarında asal sayılardır.

Bir sayının bölenlerini hesaplamak için; ‘’bu, hangi iki sayının çarpımıdır?’ şeklinde düşünerek ilerleyebilirsiniz.

Aralarında Asal Sayıların EBOB’u Kaçtır?

EBOB yani en büyük ortak bölen soruluyorsa, aralarında asal sayıların 1 hariç başka böleni olmadığı için tabii ki cevap 1 olacaktır. Karşınıza çıkacak sorularda bunu doğrudan hap bilgi olarak kullanmanız mümkündür:

Aralarında Asal Sayıların EKOK’u Nedir?

İki sayının tek ortak böleni 1 ise EKOK’u yani en küçük ortak katı, bu sayıların çarpımına eşit olur. Dolayısıyla bu iki sayıyı birbiriyle çarpmanız kâfidir. Eğer 3 farklı sayının aralarında eşit olduğunu düşünürsek bu durum değişebilir. Yani o sayıların en küçük ortak katı, bunların çarpımına eşit olmayabilir. Buna dikkat etmekte yarar vardır.

Aralarında asal sayılar nelerdir? Gibi daha yüzlerce matematik konusunu kolay şekilde öğrenmek için İlerlet.com bünyesindeki güncel kaynaklara göz atabilir, size matematiği sevdirecek ve LGS başarınızı artıracak eğlenceli eğitimlere İlerlet.com sayesinde ulaşabilirsiniz.